Descripción del instrumento

La estadística social ha adoptado diversas estrategias para modelar estas relaciones, desde análisis basados en regresiones lineales múltiples y logísticas hasta modelos jerárquicos lineales (o modelos de efectos mixtos), modelos de ecuaciones estructurales, análisis de trayectorias latentes y modelos de efectos mixtos generalizados, entre otras.

Estos modelos abarcan desde el análisis de datos longitudinales con múltiples factores hasta la modelización de transiciones discretas en el tiempo, como cambios en la salud o el empleo. Sin embargo, enfrentan desafíos cuando se trata de datos incompletos, tiempos de supervivencia desconocidos o variaciones en el tiempo de ocurrencia de eventos vitales.

En tales situaciones, los investigadores pueden recurrir a modelos específicos, como el análisis de supervivencia, diseñado para manejar datos temporales y eventos de duración, incluso aquellos censurados. Modelos como el de riesgos proporcionales de Cox permiten la modelación de riesgos con efectos variables en el tiempo y pueden adaptarse para considerar la autocorrelación temporal.

El análisis de supervivencia se centra en definir un período experimental y registra la información longitudinalmente, con registros del tipo "panel", lo que permite una vinculación directa entre los factores, el evento de interés y el paso del tiempo. Al enfocarse en el tiempo hasta el evento de interés, este análisis permite una modelación más específica y detallada de la duración observada, en lugar de simplemente predecir el resultado final. Adicionalmente, este enfoque permite analizar relaciones entre variables en un contexto en el que la manipulación directa no es posible, con datos recogidos retrospectivamente y con base en la observación de grupos naturales, lo que eleva la validez interna en diseños de tipo correlacional ex post facto, en los términos en que los describen ^{Campbell y Stanley (1982}). Estas son razones sobradas para su recomendación al momento de relevar, caracterizar y analizar las trayectorias estudiantiles.

Se aclaran algunos conceptos metodológicos clave. Se denomina sesgo por censura (o censura por derecha) a la pérdida de información por interrupción del vector antes de finalizado el período de observación o cuando la ventana de observación se cierra antes de ocurrido el evento. Esta dificultad es habitual cuando se observan grupos naturales. Por pérdida de casos o porque no resulta posible esperar a que acontezca el evento, algunos individuos no llegan a experimentar el evento estudiado.

Se denomina sesgo por truncamiento (o censura por izquierda) a aquel que se produce cuando el observable ingresa en la ventana de observación luego de haberse producido el evento que da inicio a la observación (no se observa la ocurrencia del evento origen) (^{Errandonea, 2022}).

Como lo señala el propio Kaplan (Stalpers & Kaplan, 2018, como se cita en ^{Errandonea, 2022}):

En un estudio de supervivencia típico, la acumulación de un número suficiente de pacientes con una enfermedad específica suele tardar muchos años. (…) Estos pacientes, vivos o perdidos en el seguimiento, técnicamente se denominan observaciones “censuradas” o “incompletas”. Estas observaciones censuradas deben incluirse en la estimación de la tasa de supervivencia S(t). El problema de las observaciones incompletas en los estudios de supervivencia ya se había detectado en el siglo XIX (Hayward 1899a, b, 1900; Greenwood 1926).

Greenwood (1926) ya había señalado que si se eliminaban de la cohorte los pacientes vivos con una observación temporalmente más corta que la duración del estudio (es decir, “censurados” en el sentido gramatical y legal), entonces la estimación de supervivencia sería demasiado baja. Por otro lado, si se considera que los pacientes que vivieron durante un tiempo de observación más corto que la duración del estudio, se supone que permanecerán con vida hasta el final del estudio, la estimación de supervivencia terminaría siendo demasiado alta (pp. 213-214).

Desde esta perspectiva, se pueden tipificar cuatro tipos de observaciones: no truncada, no censurada; no truncada, censurada; truncada, no censurada; y truncada, censurada.

Adicionalmente, al analizar las trayectorias educativas, esta desagregación general puede aún resultar insuficiente. Por ejemplo, cuando es importante considerar diferencias en el tipo de censura por derecha (por abandono, cuando se niega el evento por interrupción de la participación experimental del sujeto, o por censura propiamente dicha, cuando se niega el evento por cierre de la ventana de observación).

Ante estos desafíos analíticos, interesará ampliar la distinción anterior a seis tipos diferentes de observaciones (Figura 1):

Una de las ventajas del análisis de supervivencia es que permite analizar los datos durante su desarrollo, es decir, no esperar en todos los casos al evento (^{Salazar Uribe et al., 2020}, p. 11) y disponer para el análisis de los datos de técnicas paramétricas y no paramétricas.

Entre los procedimientos paramétricos más frecuentes se pueden señalar la distribución exponencial, la distribución de Weibull y la distribución Lognormal. Entre los procedimientos no paramétricos interesa destacar aquí el método de Kaplan-Meier y los procedimientos complementarios de Log Rank y la regresión de Cox (^{Arribalzaga, 2007}; ^{Rebasa, 2005}).

Toda investigación requiere una cuidadosa elección de los métodos de análisis, con base en una adecuada evaluación de las características del objeto de estudio.

El efecto determinación social, en conjunto con la carencia de dimensiones medibles en escalas de intervalo o continuas, dan por tierra la pertinencia de sostener buena parte de los supuestos asumidos en muchas de las estrategias de análisis estadístico utilizadas.

No solo por las diferencias que específicamente demandan los objetos sociales en relación con otros objetos de conocimiento, sino porque provee instrumentos especialmente útiles en estos casos, nos concentraremos en las variantes no paramétricas del análisis de supervivencia, que lo tornan más adecuado cuando nos permite superar conjuntamente las dificultades señaladas y relativiza la validez interna de los resultados por medios alternativos.

Cuando el tiempo no es constante, la distribución es desconocida o compleja y es necesario considerar casos censurados, los modelos lineales generalizados enfrentan desafíos considerables. Estos desafíos se vuelven aún más difíciles cuando se necesita investigar grupos naturales de manera rastreable, lo que limita aún más los recursos estadísticos disponibles (^{Gómez & Cobo, 2004}).

Entre los métodos no paramétricos más utilizados en el análisis de supervivencia se distinguen fundamentalmente dos (^{Gómez & Cobo, 2004}, p. 51):

Aunque el método actuarial tiene sus aplicaciones específicas, el método de Kaplan-Meier generalmente se prefiere en situaciones en las que los datos de supervivencia son más complejos, censurados o irregulares, debido a su naturaleza no paramétrica y a su capacidad para manejar una variedad más amplia de escenarios (^{Arribalzaga, 2007}).

Revisemos muy brevemente sus diferencias más importantes. El método actuarial utiliza tasas de supervivencia, lo que representan la probabilidad de que una persona de una determinada edad sobreviva durante un período específico. Estas tasas se derivan de las tablas de mortalidad y se utilizan para calcular las probabilidades acumulativas de supervivencia. Las tablas de mortalidad, que son registros históricos de las tasas de mortalidad observadas en una población específica a lo largo del tiempo, proporcionan la base para calcular las probabilidades de supervivencia en diferentes edades (^{Arribalzaga, 2007}).

Es comúnmente utilizado en industrias como seguros y pensiones e implica dos premisas para el tratamiento de los datos (Fernández, 1995):

Ha sido concebido para estimar la función de supervivencia a partir de datos censurados, los que resultan comunes en estudios de supervivencia (^{Lifshitz, 2014}, p. 163), en la medida en que, como se dijo, algunos sujetos no experimentan el evento de interés durante el período de observación (^{Arribalzaga, 2007}; Fernández, 1995).

Esta técnica genera una curva de supervivencia que muestra la proporción de sujetos que sobreviven hasta un tiempo específico. La curva se construye a medida que ocurren eventos o censuras en el conjunto de datos, se basa en la estimación de las probabilidades condicionales en cada punto temporal cuando tiene lugar un evento o una censura y toma el límite del producto de esas probabilidades para estimar la tasa de supervivencia en cada punto temporal.

No hace tantas suposiciones sobre la distribución subyacente de los tiempos de supervivencia como el método actuarial, lo que lo hace más adecuado cuando la forma de la distribución no es conocida o puede ser compleja (^{Gómez & Cobo, 2004}): es más flexible en términos de intervalos de tiempo (efectivo con intervalos desiguales y no requiere que todos los eventos sean registrados en momentos iguales) y es particularmente útil para comparar las tasas de supervivencia entre diferentes grupos o tratamientos. Por ello, es robusto y más preciso en la estimación, especialmente en presencia de datos censurados, en situaciones más realistas y complejas.

Es necesario señalar también que, como el objeto de análisis no es el evento, sino el tiempo transcurrido al evento, no distingue entre diferentes tipos de evento y, por lo tanto, para comparar el tiempo involucrado en eventos diferentes o diferenciar formatos de censura de los eventos necesita ser rotado y/o redefinido el evento de interés.

En su famoso artículo “Nonparametric Estimation from Incomplete Observations”, ^{Kaplan y Meier (1958}) señalaban que, “a pesar de la incompletitud resultante de los datos, se desea estimar la proporción P(t) de elementos en la población cuyas vidas útiles excederían t (en ausencia de tales pérdidas), sin hacer ninguna suposición sobre la forma de la función P(t)” (p. 457).

Sin embargo, este procedimiento aplicado a cada tramo (intervalo entre dos eventos) no tiene en cuenta los casos perdidos anteriormente. Si no hay pérdidas, todo se cancela excepto el primer denominador N y el último numerador n(t), y p(t) se reduce a la estimación binomial usual formalizada por la ley de Laplace (casos probables/casos posibles): ch1

De manera que P(t) es una función escalonada que cambia su valor solo en las edades observadas de muerte, en las que es discontinua: ch2

De esta forma se propone estimar puntualmente la supervivencia acumulada como una función condicional de la probabilidad de supervivencia previa: ch3

Para la estimación de los límites del intervalo de confianza (IC), se usa una aproximación a la función normal, con la fórmula de estimación del error estándar de Greenwood: ch4

De manera que, por ejemplo, con una precisión del 95 % el intervalo de confianza se puede calcular de la siguiente manera: ch5

Con el objetivo de proporcionar una idea de la velocidad con que se observa cada nuevo evento (“velocidad de fallecimiento”), se calcula la “tasa de mortalidad instantánea”, “función de fallo”, “función de riesgo” o, genéricamente, función de impacto.

De forma alternativa a la supervivencia, la función de impacto (h(t)) estima la probabilidad de que en dicho tiempo se observe un evento: ch6

En palabras de ^{Kaplan y Meier (1958}), se propone un cálculo de la probabilidad tramo a tramo:

Para muestras aleatorias de tamaño N, la estimación del producto-límite (PL) se puede definir de la siguiente manera: Enumere y etiquete las N vidas útiles observadas (ya sea hasta la muerte o la pérdida) en orden de magnitud creciente, de modo que se tenga o < t₁ < t₂ < ... < tn. Luego, P(t) = Π ((N - r) / (N - r + 1)) , donde r asume aquellos valores para los cuales tᵣ < t y para los cuales tᵣ mide el tiempo hasta la muerte. Esta estimación es la distribución, sin restricciones en cuanto a forma, que maximiza la verosimilitud de las observaciones. Otras estimaciones que se discuten son las actuariales (que también son productos, pero con el número de factores generalmente reducido por agrupamiento); y las estimaciones de muestra reducida (RS), que requieren que las pérdidas no sean accidentales, de modo que los límites de observación (tiempos potenciales de pérdida) sean conocidos incluso para aquellos elementos cuyas muertes son observadas. Cuando no ocurren pérdidas a edades menores que t, la estimación de P(t) en todos los casos se reduce a la estimación binomial usual, es decir, la proporción observada de sobrevivientes (p. 457).

En el método actuarial se introducen intervalos de tiempo constantes, previamente definidos por el investigador, y la forma de cálculo sería la siguiente: ch7

Sin embargo, luego de haber ordenado crecientemente los tiempos a que se producen los eventos, el método de Kaplan-Meier permite calcular la función de impacto de la siguiente manera (^{Rodríguez Barranco, 2017}, p. 10): ch8

Así, este instrumento se torna especialmente apropiado cuando el evento ocurre en lapsos no previstos por las tablas de mortalidad originales o no regulares en el tiempo. Es capaz de asumir no solo períodos de diferente duración, sino períodos tan cortos como los propios de acaecimiento de cada evento. Adicionalmente, el instrumento de interpretación se torna bastante más apropiado cuando el evento se ha considerado deseable: “positivo”.

Por ello, la función de impacto se estima como la probabilidad de que en dicho tiempo se observe un evento (hasta un límite infinitesimal, mediante el método del límite de producto de Kaplan-Meier) (^{Arribalzaga, 2007}): ch9

Adicionalmente, por intermedio de la regresión de Cox, el modelo permite introducir la noción de “tiempo no constante”, en relación con su interacción con terceras variables de interés. Esta variabilidad, como se dijo, puede no contemplar otros modelos de estimación probabilística habituales.

Por ejemplo, en comparación con la regresión logística, que se utiliza para modelar la probabilidad de que ocurra un evento con datos categóricos binarios, en el que el resultado es "éxito" o "fracaso", como la presencia o ausencia de una enfermedad, en función de uno o más predictores, la aplicación del método de Kaplan-Meier complementariamente permite estimar la función de supervivencia, como el tiempo de supervivencia hasta un evento.

En tanto el método de Kaplan-Meier no hace suposiciones sobre la distribución de los tiempos de supervivencia, las regresiones logísticas suponen una relación logarítmica lineal entre los predictores y la probabilidad del evento. Produce una curva de supervivencia que muestra la probabilidad acumulativa de supervivencia a lo largo del tiempo. Las regresiones logísticas proporcionan coeficientes que indican el cambio en la probabilidad logarítmica del evento para un cambio unitario en el predictor con independencia del tiempo transcurrido.

Como se dijo, el método de Kaplan-Meier puede manejar datos cuando la información sobre el tiempo de supervivencia no está disponible para todos los sujetos (censurados). Mientras que las regresiones logísticas, no manejan naturalmente la censura y en general requieren datos completos.

Si bien las regresiones logísticas permiten naturalmente la inclusión de covariables para ajustar el modelo a otras características relevantes, el método de Kaplan-Meier puede complementarse con la regresión de Cox para incorporar indirectamente covariables en el modelo y superar esta desventaja relativa.

Por lo dicho, el análisis de supervivencia, clásicamente concebido como un procedimiento para estimar el tiempo probable de ocurrencia de un evento específico con base en tratamientos bivariados comparados, requiere la incorporación de instrumentos que faciliten análisis más complejos y puedan evaluar comparadamente los niveles de más de dos efectos y su significación en múltiples tratamientos.

En este sentido, existen varios instrumentos adecuados para la sofisticación y la validación de los modelos. Por ejemplo:

Al asumir que la censura no es informativa, los tiempos de evento y de censura son considerados independientes: cada participante i puede presentar un tiempo al evento Ti (observación no censurada: en este caso, sabemos que el tiempo de censura hubiera ocurrido después de t = T¡) o un tiempo a la censura C¡ (observación censurada: en este caso, sabemos que el evento hubiera ocurrido después de t = C¡), aunque solo uno de los dos es observable.

En consecuencia, la relación entre n_k y n_k+1 (intervalos consecutivos en la variable tiempo) depende de la cantidad de eventos y de censuras (^{Ducrocq & Gómez, 2000}, p. 238-239): ch10

Como la función de impacto se define como la tasa instantánea de falla en el tiempo t, su fórmula básica es: ch11

Examinemos el procedimiento con base en un ejemplo.

Se estimó la probabilidad de la obtención de un título universitario entre los estudiantes que ingresaron en 2010 a la Universidad de la República (Udelar), en un período determinado, utilizando datos censurados. Además, se analizaron los efectos de varios atributos de los estudiantes para relacionar la evolución individual de los participantes y la forma en que influyeron dichos factores en las transiciones académicas observadas.

Luego de estimar la probabilidad de obtener el título en un determinado tiempo (p(t)) y el riesgo instantáneo o función de impacto de no obtenerlo (h(t)), para estudiantes provenientes de hogares universitarios (u) y estudiantes provenientes de hogares no universitarios (nu) de manera independiente, se evaluaron las probabilidades condicionales relativas de ambos grupos.

Habiéndose obtenido una p(t _nu )=0,886, con un h(t _nu )=0,005, en estudiantes provenientes de hogares no universitarios y p(t _u )=0,820, con un h(t _u )=0,006, en estudiantes provenientes de hogares universitarios, para un estrato de t específico, el valor de comparación se halla mediante la comparación de las respectivas tasas de cambio (h(t)/ p(t)), de la siguiente manera: ch12

A partir del ejemplo, se puede observar que la tasa de cambio en la función de supervivencia en el tiempo es ligeramente mayor para los primeros en comparación con los segundos, en el mismo punto en el tiempo.

Como el valor de t generalmente se considera un cambio infinitesimal en el tiempo y se mantiene constante para todos los estratos, esta forma de estimación es independiente del tamaño o duración del estrato al que se aplique la derivada.

Para evaluar la influencia de múltiples variables predictoras (covariables) en la función de impacto de un evento a lo largo del tiempo (h(t)), se utiliza la regresión diseñada a tal fin por Cox en 1970.

Este recurso permite investigar la relación entre las variables predictoras y la función de impacto (h(t)), para la realización de los análisis multivariables necesarios para controlar y evaluar el impacto de múltiples factores al mismo tiempo.

De manera que, mediante la regresión de Cox, se estima el riesgo relativo (cociente de riesgos instantáneos) asociado con cada covariable, lo que permite cuantificar cómo las variables afectan la función de impacto a lo largo del tiempo.

Cuando estamos analizando datos, es importante asegurarnos de que las diferencias que encontramos entre grupos sean significativas y no solo aleatorias. Para hacer esto necesitamos una manera de medir cuán válidas son esas diferencias. Podemos usar algo llamado pruebas de rango logarítmico, que básicamente son métodos para comparar las tendencias entre diferentes grupos. En lugar de simplemente confiar en nuestros ojos para ver si hay diferencias, estas pruebas nos ayudan a cuantificar y verificar si realmente hay perfiles distintos entre los grupos que estamos estudiando. Es como usar una lupa para examinar las diferencias y estar seguros de que son reales y no solo una casualidad.

La prueba de log-rank es una herramienta estadística muy utilizada para comparar las tasas de eventos entre dos o más grupos a lo largo del tiempo. Compara los registros observados con las observaciones esperadas bajo la hipótesis nula de que no hay diferencias en las tasas de supervivencia entre los grupos. Y, por lo tanto, es útil para determinar si hay diferencias significativas entre las tasas de supervivencia de diferentes grupos.

Ilustración del uso de la metodología mediante un ejemplo concreto

En el apartado anterior se estableció que la conjunción de las dimensiones que caracterizan a ciertos objetos, como ocurre al estudiar trayectorias estudiantiles, los hacen difíciles de tratar por algunos de los procedimientos clásicamente adoptados en las ciencias sociales.

En este sentido, ^{Beltrán Villalva (1985}) sugiere que el método científico debe adecuarse rigurosamente al objeto de estudio, caracterizando así a la sociología como una disciplina única que no encaja completamente ni en las "ciencias del espíritu" ni en las ciencias físico-naturales:

La propuesta, pues, aquí formulada es la adecuación del método a la dimensión considerada en el objeto, y ello no de manera arbitraria e intercambiable, sino con el rigor que el propio objeto demanda para que su tratamiento pueda calificarse de científico. (…) De aquí la peculiaridad de la sociología, que no se constituye como una de las viejas 'ciencias del espíritu’ porque no trata solo de cuestiones espirituales (valga la forma de llamarlas), pero tampoco como ciencia físico-natural, ya que su objeto se niega a dejarse encasillar en tal categoría (p. 39).

^{Allison (2010}) destacaba en particular algunos desafíos al momento de analizar datos con características comunes que son difíciles de manejar con métodos estadísticos convencionales: la censura y las covariables dependientes del tiempo. El seguimiento de individuos con el objetivo de determinar cómo la ocurrencia y el momento de la ocurrencia de ciertos eventos dependen de varias covariables es un enfoque central en la investigación sociológica. Algunas de estas covariables, como la raza y la edad, permanecen constantes durante el intervalo de un año. Otras, como el estado civil y laboral, podrían cambiar en cualquier momento durante el período de seguimiento.

Una posibilidad es realizar un análisis de regresión logística con una variable dependiente dicotómica. Sin embargo, este análisis ignora la información sobre el momento del evento. Al menos, ignorar esa información debería reducir la precisión de las estimaciones.

Una solución a este problema es hacer que la variable dependiente sea el período de tiempo entre la liberación y el primer arresto y luego estimar un modelo de regresión lineal convencional. Pero ¿qué se hace con las personas que no registraron el evento durante el año de seguimiento? Estos casos se denominan censurados. Hay un par de métodos ad hoc obvios para tratar casos censurados, pero ninguno funciona bien. Un método es descartar los casos censurados. Ese método podría funcionar razonablemente bien si la proporción de casos censurados es pequeña. Sin embargo, si son muchos datos que descartar, se ha demostrado que pueden producirse grandes sesgos. Alternativamente, se podría fijar el tiempo del evento en un año para todos aquellos que no lo registraron. Sin embargo, esto es claramente una subestimación, y es posible que algunos de esos nunca registren el evento. Nuevamente, pueden ocurrir grandes sesgos (^{Allison, 2010}, p. 4).

El estudio de las trayectorias educativas en la educación superior presenta las dificultades señaladas. En este contexto, el análisis de supervivencia mediante el método de Kaplan-Meier es preferible, ya que evita hacer suposiciones fuertes sobre la distribución de los tiempos hasta el evento. Además, este método es especialmente útil cuando los eventos son proporcionalmente raros. Las contribuciones de la regresión de Cox y el método Long-Rank para validar la significación de las diferencias fortalecen aún más esta preferencia.

En el estudio de la cohorte de ingreso en 2010 a carreras de grado de la Udelar, los investigadores de la Unidad de Sistemas de Información de la Enseñanza (Usien) de la Comisión Sectorial de Enseñanza optaron por un diseño cuasiexperimental de tipo correlacional ex post facto, siguiendo las directrices establecidas por ^{Campbell y Stanley (1982}) (^{Errandonea, 2023a}). Este enfoque permitió analizar relaciones entre covariables en un contexto en el que la manipulación directa no era posible y los datos fueron recogidos retrospectivamente con base en la observación de grupos naturales. Esta estrategia supuso el estudio de la evolución individual de los participantes a lo largo del tiempo, modelando cómo influyeron diferentes factores en las transiciones de interés.

Revisemos algunos hallazgos de esta experiencia para ejemplificar la utilidad del instrumento.

El estudio de la Usien analiza las actividades académicas de los estudiantes de carreras de hasta cinco años de duración teórica, durante un período de observación de ocho años lectivos (2010 a 2017).

Se trató de la observación de un grupo natural que incluía una importante proporción de unidades de observación que no alcanzaron a registrar el evento, dado que se interrumpió el vector por censura por derecha (se niega el evento por cierre de la ventana de observación) o, de manera anticipada, por “abandono” o “desvinculación” (se niega el evento por “mortalidad muestral”). En consecuencia, la exploración preliminar se concretó mediante un análisis de supervivencia con base en el método de Kaplan-Meier. Para la incorporación al análisis de covariables, se procedió mediante la regresión de Cox. Y, para la valoración de la significación de las diferencias observadas entre los grupos, se recurrió al método de log-rank.

El estudio se sustanció en los registros de las instancias académicas de 9.562 estudiantes inscriptos en 2010 en la Udelar en carreras de grado (de hasta 5,5 años de duración teórica). Solo se utilizaron los registros correspondientes a estudiantes de hasta 30 años de edad al momento de su inscripción. La estrategia consistió en analizar las trayectorias de los estudiantes en procura de la obtención de un primer título universitario (evento de observación).

Adicionalmente, se valoró el grado en que diferentes atributos individuales podían resultar asociados al tiempo invertido por los estudiantes en la obtención del título, particularmente, la estimación del tiempo transcurrido hasta el acaecimiento del evento de graduación o, en su defecto, del evento de “interrupción definitiva de las actividades académicas” (desvinculación).

Cuando el último registro se correspondió con la titulación, se la consideró una observación completa (con presencia del evento). Cuando no se correspondió con la graduación, fue conceptualizada como una observación incompleta. El estudio consideró las observaciones incompletas como censuradas en las dos modalidades señaladas: por abandono, si se registró antes del año de cierre de la ventana de observación (2017); o, si ocurrió por el cierre de la ventana de observación (2017), como censura por derecha.